2010年湖南高考数学（理工农医类）试题

下列命题中的假命题是

极坐标方程  和参数方程  （t 为参数）所表示的图形分别是

在  中，  ，  ，则  等于

 等于 

在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若  ，  ，则

在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息。若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为

用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值，若函数的图像关于直线  对称，则t的值为 

已知一种材料的最佳加入量在110g到210g之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是 ＿＿ g。

如图1所示，过  外一点P作一条直线与  交于A，B两点。已知PA=2，点P到的切线长PT=4，则弦AB的长为 ＿＿ 。 
  

在区间 上随机取一个数x，则  的概率为 ＿＿ 。

图2是求  的值的程序框图，则正整数n= ＿＿  。
   

图3中的三个直角三角形是一个体积为  的几何体的三视图，则 h =＿＿cm。 
 

过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C，若梯形ABCD的面积为  ，则 p =   ＿＿ 。

若数列满足：对任意的，只有有限个正整数m 使得成立，记这样的m 的个数为，则得到一个新数列，例如，若数列是1，2，3，…，n，…，则数列是0，1，2，…，n-1，…。已知对任意的，，则 = ＿＿ ，  = ＿＿。 

（本小题满分12分）
已知函数  。

（Ⅰ）求函数 f(x) 的最大值；

（Ⅱ）求函数 f(x) 的零点的集合。

（本小题满分12分）
图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图。

（Ⅰ）求直方图中的 x 的值；

（Ⅱ）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数 X 的分布列和数学期望。
  

（本小题满分12分）
如图5 所示，在正方体  中，E 是棱  的中点。

（Ⅰ）求直线BE 和平面  所成的角的正弦值；

（Ⅱ）在棱  上是否存在一点F ，使 
 平面  证明你的结论。

（本小题满分13分）
为了考察冰川的融化状况，一只科考队在某冰川上相距8km的A，B 两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x 轴，线段AB的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（图6）。在直线x = 2 的右侧，考察范围为到点B 的距离不超过  km的区域；在直线x = 2的左侧，考察范围为到A，B两点的
距离之和不超过  km的区域。
 
（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；

（Ⅱ）如图6所示，设线段  是冰川

的部分边界线（不考虑其他边界），

当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方

向朝考察区域平行移动，每一年移动0.2km，

以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边

界线移动到考察区域所需的最短时间。

（本小题满分13分）

已知函数  ，对任意的  ，恒有  。

（Ⅰ）证明：当  时，  ；

（Ⅱ）若对满足题设条件的任意  ，不等式  恒成立，求M的最小值。

（本小题满分13分）

数列（）中，  是函数  的极小值点。

（Ⅰ）当   时，求通项  ；

（Ⅱ）是否存在  ，使数列是等比数列？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。