第七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题

答案：5.53万人。
    解：先求半岛上共有多少万人：　43×90%＝38.7(万人)
　　再求平均每平方千米的人数是多少?　　38.7÷7≈5.53(万人)
　　综合算式:43×90%÷7≈5.53(万人)
　　注：本题是一道简单的应用题，只是要求我们计算时要准确、迅速。

答案：25%
　　解：设某人去年买股票A元,下跌后剩下A×(1－20%)＝4/5 A(元)
　　如果今年上涨X%才能保值,那么(4/5)A(1＋X%)=A
　　　　　　　　　　　　　　　1+X%=1(1/4)
　　　　　　　　　　　　　　　X%=25%
　　注:1(1/4)表示一又四分之一。这道题如果我们灵活地“设计”数据,假设某人去年买股票100元,下跌20%后,剩下80元,再求100比80多百分之几?(100-80)/80＝25%,25%就是今年应上涨的百分率。

答案:星期六。
　　解:每个月里,日期为偶数的编号从小到大依次排列为2,4,6,……28或(30)。 我们不妨设这个月的2号是星期日,那么,本月的16号,30号都是星期日,这是符合要求的。因此,这个月的15号是星期六。
　　注:一个月最多只有31天,事实上,如果这个月的4号是星期日,那么第三个星期日就是4+28=32(号),这与实际不相符,懂得了这个道理,对于这道题就能准确、迅速地作出判断。

答案:第四层有红灯24盏。
　　解:这首诗告诉我们,七层楼上红灯数目呈倍数递增,为了求出第四层上红灯的数目,我们可先分解381。
　　381=3×127　　而127=2＾7-1=1+2+4+8+16+32+64
各层上的红灯数从上到下依次是：第七层:3×1
　　　　　　　　　　　　　　　第六层:3×2
　　　　　　　　　　　　　　　第五层:3×4
　　　　　　　　　　　　　　　第四层:3×8
　　　　　　　　　　　　　　　……
　　　　　　　　　　　　　　　第一层:3×64
　　因此,第四层上的红灯数为3×8=24(盏)。
　　注: 2＾7表示二的七次方。分解质因数可找到解答本题的突破口。

答案:30。
    解:设下图中等边三角形ABC的边长为a,按顺时针方向,六边形所在的正三角形2,3,4,5,6,8的边长依次是:2号:a+1,3号:a+1,4号:a+2,5号:(a/2)+1,6号:(a/2)+1,8号:(a/2)+2。
　　由于编号8的正三角形的边长是(a/2)+2,它与所设三角形ABC的边长a相等, 这样可求得a的值:(a/2)+2=a,解得a=4。这样,六边形的周长为:
a+(a+1)+(a+1)+(a+2)+[(a/2)+1]+[(a/2)+1]+[(a/2)+2]
=5(1/2)a+8=5(1/2)×4+8=30　　　　
    注:5(1/2)表示五又二分之一。这道题通过“形”的组合,隐藏并反映“数”的等量关系,找出等量关系后,使题目容易求解。

答案:721棵。
    解:由正六边形苗圃的最外面一圈栽有90棵树苗,可求得每边(外围)上的树苗为:
      90÷6=15(棵)
      我们将正六边形分成六个相同的小正三角形:
      (如右图三角形ABC),每个正三形 里种有树苗:
      15+14+13+……+2+1=120(棵)
      六个三角形共种有树:120×6=720(棵)
      但中心点还种有一棵树,因此苗圃中共种有树苗720+1=721(棵)。
    注:同学们知道等差数列求和的计算方法,这道题相当于告诉了等差数列的末项,需灵活地求出它的首项和项数,另外不可忽视正六边形的中点,对于这道题,还有另外的解法。如:90+(90-6×1)=(90-6×2)+(90-6×3)+……+(90-6×14)+1=721(棵)。
　

答案:甲400,乙803,丙796。
    解:设相等时的人数为A,那么甲、乙、丙各校的人数分别为:
        甲(1/2) A人,乙(A+3)人,丙(A－4)人。
      根据题意列方程得:
        （1/2)A+(A+3)+(A-4)=1999
        解得A=800
      甲校人数800×(1/2)=400(人)
      乙校人数800+3=803(人)
      丙校人数800-4=796(人)
    注:依甲、乙、丙三所小学相等时的人数,通过逆推,用分别含有一个相同字母的式子表示各校的人数列出方程,是解答本题的技巧。

答案:9岁。
    解:设小明爷爷的年龄为两位数 ,则他爸爸的年龄为 ,那么有4能整除( - )
      也就是4能整除[9(A-B)]
      当A-B=4时,小明年龄为9×4÷4=9(岁)
      当A-B=8时,小明9×8÷4=18(岁)
      爷爷91岁,爸爸19岁,不符合要求。
    因此,小明的年龄是9岁。
    注:解答本题的关键是求一个两位数,交换数位顺序后所得到的新两位数与原数的差能被4整除。

答案:650平方厘米。
    解:把这10块积木拼成如下情形,其表面积不是最小的。
　　     
要使长方体的表面积尽量的小,必须使拼成的长方体重合的面积尽量的大。如果能够  拼成正方体或接近正方体时,其表面积较小。拼完后,长方体的体积为:3×5×7×10 =3×5×7×(2×5) 这里我们注意长方体的长,宽,高尽量的靠近。2×3×5×5×7=7×(2×5)×(3×5)=7×10×15
      如图拼法:其表面积为:(7×10+10×15+7×15)×2=650(平方厘米)
　　 
注:解答本题的关键是懂得一个道理：当体积一定时,正方体的表面积比长方体的表面积小。

答案:7点5分27秒。
    解:当下一次时针与分针反向成一条直线时,分针比时针多行一圈。
        我们知道,一圈有360°,不妨设计一种追及路程为度的方法:
        时针每分行360°×(1/12) ×(1/60)=0.5°
        分针每分行360°×(1/60)=6°
        追及“路程”为360°
        追及时间:360÷(6-0.5)=65(5/11)(分)
        65(5/11)=1小时5分27秒,下一次时针与分针恰好反向成一条直线的时间是7点5分27秒。
    注：65(5/11)表示六十五又十一分之五。